英雄出少年，屬於偽素數的卡邁克爾數的分布問題被一位高中生弄明白了！
回想一下，你的高中在幹什麽，有沒有值得驕傲的一件事。本文我們將要介紹的這位學生，名叫 Daniel
Larsen，在高中的最後一年裏，他證明了卡邁克爾數（Carmichael
numbers）的關鍵定理。在他發表了自己的證明後，Larsen 被 MIT 錄取，主修數學。
一位數學家對這一研究給與極高的讚譽：任何數學家攻克這一證明都會為之自豪。更別說是一位高中生了。
早在 Daniel Larsen 上中學時，他就對填字遊戲癡迷，還曾兩次贏得地區比賽。他的母親 Ayelet
Lindenstrauss 曾這樣形容他：Larsen 決定開始幹一件事就非常專注，直到成功。迄今為止，Larsen
還保持著這樣一項記錄，他是在外媒上發表填字遊戲最年輕的人，當年他才 13 歲。
不過，他的母親表示，Larsen 在過去的一年裏開始思考關於數學的問題。這一轉變源於一個更廣泛的問題，曾被數學家 Carl
Friedrich Gauss（高斯）評價為數學中最重要的問題之一：如何區分素數（隻能被 1
和自身整除的數）和合數。數百年來，數學家們一直在尋找有效的方法來解決這個問題。
一個多世紀以前，在尋求快速、強大的素性測試 ( Primality test )
過程中，數學家偶然發現了一些麻煩——有些數不是素數，也會讓測試誤以為它們是素數。這些被稱為卡邁克爾數的偽素數特別難以掌握。直到
1990
年代中期，數學家才證明它們的數量是無限的。這就引出另一個問題，要想進一步了解它們在數軸上的分布情況，則是一個更大的挑戰。
後來 Larsen 提出了一個新的證明，感興趣的小夥伴可以閱讀下麵的論文。發現這項證明時，Larsen 隻有 17 歲。
論文地址：https://academic.oup.com/imrn/advance-article-abstract/doi/10.1093/imrn/rnac203/6647493?redirectedFrom=fulltext&login=false
打小就對數學感興趣
Larsen
在印第安納州布盧明頓長大，一直被數學所吸引。他的父母都是數學家，在他和姐姐很小的時候，父母就向他們介紹了這門學科。（他的姐姐現在正在攻讀數學博士學位。）當
Larsen 3 歲時，他就開始詢問母親關於無窮大本質的哲學問題。
幾年前，他還沉浸在填字遊戲，偶然的一次機會，他發現了一部關於張益唐的紀錄片深受啟發。張益唐於 2013 年 4
月在《數學年刊》上發表《素數間的有界間隔》，首次證明了存在無窮多對間隙為有限的素數，從而在孿生素數猜想這一數論難題上取得質的突破。半生潦倒，58
歲時憑此證明，成為公認的數論學家。其坎坷而傳奇的數學旅程在學術圈內外引起反響。
在此啟發下，Larsen
對數論的思考根本停不下來，他對數論中著名的未解決問題孿生素數猜想開始產生興趣。該問題可以這樣描述：孿生素數就是指相差為 2
的素數對，例如 3 和 5，5 和 7，11 和 13…
張益唐的研究證明了存在無窮多對相差小於 7000 萬的素數，之後其他人也加入進來，隨後的幾個月內，數學家 James
Maynard 和陶哲軒他們獨立地證明了關於素數差距的研究。此後，這一差距縮小到 246 個。
Larsen 想了解 Maynard 和陶哲軒研究背後的數學原理，不過 Larsen
發現他們的論文太複雜了，他試圖閱讀相關的作品，卻發現這些也難以理解。Larsen 一直在堅持，直到 2021 年 2
月，他發現了一篇他認為既漂亮又易於理解的論文，主題是：卡邁克爾數，這些奇怪的合數有時會偽裝成素數。
卡邁克爾數
17 世紀中葉，法國數學家皮埃爾 · 德 · 費馬 ( Pierre de Fermat ) 給他的朋友兼知己 Frénicle
de Bessy 寫了一封信，他在信中陳述了後來被稱為費馬小定理（little theorem）的東西。即如果 N 是素數，那麽無論
b 是什麽，b^N- b 始終是 N 的倍數。例如，7 是素數，因此 2^7 – 2（等於 126）是 7 的倍數，類似地，3^7 –
3 是 7 的倍數，依此類推。
數學家看到了完美檢驗給定數字是素數還是合數的潛力。他們知道如果 N 是素數，則 b^N – b 總是 N
的倍數。如果反過來會成立嗎？也就是說，如果 b^N – b 是所有值 b 的 N 的倍數，那麽 N 一定是素數嗎？
事實證明，在極少數情況下，N 可以滿足這個條件並且仍然是合數。最小的數字是 561：對於任何整數 b，b^561 – b 始終是
561 的倍數，即使 561 不是素數。像這樣的數字是以數學家 Robert Carmichael 的名字命名的。
Larsen 完成證明後，他給數論領域的一些頂尖人士都發了一份草稿。令他驚訝的是，他們都讀了並回複了他。
數學家想要更好地了解這些與數論中最基本對象素數非常相似的數字。事實證明，在 1899 年，另一位數學家 Alwin
Korselt 提出了一個等價的定義，這要比 Carmichael
的結果早了十年。當時，他隻是不知道是否存在任何符合要求的數字。
根據 Korselt 的準則，當且僅當滿足以下三個屬性時，一個數 N 即是一個卡邁克爾數。首先它必須有 1
個以上的素因數；其次沒有任何重複的素因數；最後對於每個能整除 N 的素數 p，p-1 也能整除 N-1。再次考慮數字 561，它等於
3 × 11 × 17，它顯然滿足 Korselt 準則中的前兩個屬性。為了滿足最後一個屬性，從每個素因數中減去 1，得到 2、10
和 16。此外，561 也減去 1，這樣 2、10 和 16 都是 560 的除數。因此數字 561 是卡邁克爾數。
盡管數學家們質疑卡邁克爾數有無限多個，但與素數相比相對較少，這使得它們難以確定。之後在 1994 年，Red
Alford、Andrew Granville 和 Carl Pomerance
發表了一篇突破性的論文，他們最終證明這些偽素數確實是無限多的。
論文地址：https://www.jstor.org/stable/2118576?origin=crossref
遺憾的是，他們提出的方法無法說出這些卡邁克爾數的「真實麵目」，比如它們是否沿著數軸成簇出現以及中間是否有很大的間隔？又或者是否總能在短時間內找到一個卡邁克爾數？Granville
表示，「你會想，如果能證明它們的數量是無窮多的就好了。當然你應該能夠證明它們之間沒有很大的間隔，它們應該相對間隔開。」
特別地，Granville 及其合著者希望證明一個這樣的說法，即給定足夠大的數字 X，在 X 和 2X
之間總會有一個卡邁克爾數。對此，美國國防分析研究所從事相關工作的數學家 Jon Grantham
表示，「這是表達卡邁克爾數無處不在的另一種方式。」
但幾十年來，沒有人能夠證明這一點。Alford、Granville 和 Pomerance
提出的方法讓我們能夠證明存在很多卡邁克爾數，但並沒有真正指出它們到底出現在哪裏。
2021 年 11 月，轉機來了。Granville 收到了一封來自 Larsen 的電子郵件，並附上一張證明紙。令
Granville 驚訝的是，他的證明看起來是正確的。雖然讀起來並不容易，但很明顯他並不是在胡鬧，提出了絕妙的想法。
Pomerance 閱讀了 Larsen
證明的更新版本，同意其證明非常先進，並表示「這將是一篇任何數學家都為寫下它而感到自豪的論文，況且這是一個高中生寫的。」
Larsen 證明的關鍵也是最開始將他吸引到卡邁克爾數的工作，即 Maynard 和 Terence Tao
在素數間隔上的結果。
從不太可能到並非不可能
當 Larsen
第一次著手證明總能在很短的時間內找到一個卡邁克爾數時，他表示，「卡邁爾克數看起來切切實實存在，證明它又有多難呢？」不過，他很快意識到這確實很難，並認為這是一個考驗我們時代技術的問題。
在 Alford、Granville 和 Pomerance 等人 1994
年的論文中，他們展示了如何創建無限多個卡邁克爾數。但是他們無法控製用於構建它們的素數的大小。這就是 Larsen
構建規模相對接近的卡邁克爾數需要做的事情。
他的父親 Michael Larsen
也對這個問題的難度表示擔憂，並表示，「我不認為這是不可能的，但我覺得我兒子不太可能成功。他在這件事上花了很長時間，如果為此付出了很多卻得不到好的結果，那對他將是毀滅性的打擊。」
不過，他父親也知道自己最好不要阻止，「當 Larsen 沉迷於自己真正感興趣的事情時，他會不顧一切地堅持下去。」
所以，Larsen 重新回到 Maynard
的論文，特別是為了證明如果采用了某些具有足夠數字的序列，這些數字的子集一定是素數。Larsen 改進了 Maynard
的方法，將它們與 Alford、Granville 和 Pomerance
使用的方法相結合。這使他能夠確保自己最終得到的素數大小不同，足以生成落在他想要的間隔內的卡邁克爾數。
Granville 表示，「Larsen 對事情的控製比我們以往任何時候都要好，他通過巧妙地利用 Maynard
的研究實現了這一目標。」芬蘭圖爾庫大學的數學家 Kaisa Matomäki
也表示，「在素數之間的短間隔上利用這一研究並不容易，很高興他能夠將它與關於卡邁克爾數字的問題結合起來。」
事實上，Larsen 的論證不僅僅讓他證明了卡邁克爾數必須始終出現在 X 和 2X 之間。他的證明也適用於更小的間隔。
目前，正在 MIT 讀大一的 Larsen 不確定下一步要解決什麽問題。他努力上課學習，並始終保持開放的心態。Jon
Grantham 對他評價稱，「他在未接受本科教育的情況下就完成了這一切，不敢想象他上了研究生又會取得哪些成果。」