輟學寫詩的韓裔數學差生，獲得“數學界諾貝爾獎”

2022年 “菲爾茲獎”四位得主，右二為許埈珥

7月5日，4位年輕數學家獲得了2022年“菲爾茲獎”。他們分別是：

36歲的瑞士日內瓦大學/法國高等科學研究所教授Hugo
Duminil-Copin，“表彰解決了統計物理中/相變的/概率理論裏（尤其是在三維和四維情形下）若幹長期沒有解決的問題”。

39歲的美國普林斯頓高等研究院June
Huh（許埈珥），“表彰其將霍奇理論的思想引入組合學，證明了幾何格的Dowling–Wilson猜想，證明了擬陣的Heron–Rota–Welsh猜想，發展了洛倫茲多項式，以及證明了強梅森猜想。”

35歲的英國牛津大學教授James
Maynard，“表彰其對解析數論的貢獻，在理解素數的結構和丟番圖逼近方麵取得了重大進展。”

37歲的瑞士洛桑聯邦理工學院教授Maryna
Viazovska，“表彰其證明E8格在8維中提供了相同球體的最密集堆積法，並對傅立葉分析中的相關極值問題和插值問題作出了進一步的貢獻。”

Maryna Viazovska出生於烏克蘭，是第二位獲得菲爾茲獎的女性數學家。

2014年，37歲的伊朗數學家瑪麗亞姆·米爾紮哈尼（Maryam
Mirzakhani）獲得菲爾茲獎，成為該獎項曆史上的首位女性得主。2017年，米爾紮哈尼因患乳腺癌在美國去世，年僅40歲。

菲爾茲獎每四年在國際數學家大會上頒發一次，以表彰當下以及未來有可能取得傑出數學成就的40歲以下的數學家。

下文為介紹許埈珥的求學及學術經曆的一篇文章，選摘自《素數的陰謀》，中信出版社出版。

撰文 | 凱文·哈特尼特

2022年 “菲爾茲獎” 得主許埈珥|圖源：mathunion.org

2017年一個溫暖的春日清晨，許埈珥（June
Huh）步行穿過普林斯頓大學的校園。按計劃，他將前往麥克唐奈樓上課，但他不太確定怎麽去那裏。許埈珥是普林斯頓高等研究院的一員，這一遠離俗世的研究院毗鄰普林斯頓大學校園。作為高等研究院的成員，許埈珥並沒有教課的義務，但他自願教一門叫作
“交換代數”
的本科高級數學課程。被問及為什麽要這樣做時，他說：“當你教課時，你多少會做一些有用的事。但做研究時，大多數時候你都在做無用功。”

我們在上課前幾分鍾到達了教室。教室裏零零散散地坐著9個學生，其中一個學生趴在桌上睡覺。許埈珥在教室前角找了個位置，從背包裏拿出幾頁皺巴巴的筆記。然後他單刀直入，從上周結束的地方開始講起。在接下來80分鍾裏，他帶領學生們學習了德國數學家大衛·希爾伯特對一個定理的證明，該定理是20世紀數學領域最重要的突破之一。

隻有少數幾所大學在本科階段講授交換代數，但普林斯頓會定期開設這門課程。普林斯頓每年招收世界上少數幾個最有前途的年輕數學人才。許埈珥說，即使按照這個標準，那天早上他班裏的學生也稱得上天賦異稟。其中之一，就是那天早上坐在教室前排的那個學生，是唯一一個連續五次在國際數學奧林匹克競賽中獲得金牌的人。

許埈珥在數學生涯伊始並沒有得到太多讚譽。小學時考試成績的不理想使他確信自己並不擅長數學。十幾歲時，他的夢想是成為一名詩人。許埈珥的主修專業並不是數學，當他最終申請研究生時，除一所大學外，其他大學都拒絕了他。

9年後，34歲的許埈珥已經站在了數學世界的頂峰。他最著名的工作，是與數學家埃裏克·卡茨（Eric
Katz）和卡裏姆·阿迪普拉西托（Karim Adiprasito）一起，證明了羅塔猜想（Rota’s
conjecture）這一長期存在的問題。[1]

比證明本身更值得關注的是許埈珥及其合作者實現它的方式——他們找到了一種方法，可以將一個數學領域中的想法重新解釋到另一個它們似乎並不屬於的數學領域。2017年春天，高等研究院給許埈珥提供了一個長期的研究員職位。在他之前，這一職位隻授予過三位年輕的數學家，其中兩人，即弗拉基米爾·沃埃沃德斯基（Vladimir
Voevodsky）和吳寶珠（Ngô Bảo Châu）後來獲得了數學界的最高榮譽——菲爾茲獎。

許埈珥在相當晚的時候才開始學習數學，並在之後取得如今的成就，就好比他18歲拿起網球拍，20歲就贏得溫布爾登網球公開賽一樣，屬於幾乎不可能發生的事。這是一條從天而降的職業途徑，在今天的數學界簡直根本不會發生——即使是為了有個地方待著，以讓自己能做出新的發現，通常也需要經曆數年的專業訓練。然而，如果認為許埈珥的突破是他克服了自己非科班出身的劣勢而取得的，那就大錯特錯了。在許多方麵，他的這些突破是其獨特經曆的產物，是他在大學最後一年偶遇一位傳奇數學家的直接結果。這位傳奇數學家在某種程度上看出了許埈珥身上連他自己都未曾察覺的天賦。

1

意外的學徒

1983年，許埈珥在美國加州出生，當時他父母正在那兒讀研究生。兩歲時，他們一家人回到了韓國首爾。在那裏，許埈珥的父親教統計學，他母親成為冷戰開始以來韓國最早的俄羅斯文學教授之一。

許埈珥說，在一次糟糕的小學數學考試之後，他對這門學科采取了一種抵抗的態度：他認為自己並不擅長數學，所以決定將其視為
“把一個邏輯上必要的陳述疊加在另一個陳述上”
的無趣追求。十幾歲時，他轉而喜歡上了詩歌，認為詩歌是一種真正的創造性表達。“我知道我很聰明，但我無法用成績證明這一點，所以就開始寫詩。”
許埈珥說。

許埈珥寫了很多詩和一些中篇小說，大部分是關於他自己十幾歲時的經曆，但沒有一篇得以發表。2002年，許埈珥考入首爾國立大學，當時他就認定自己無法以詩人的身份謀生，於是決定改行當一名科學記者。許埈珥在大學期間主修天文和物理，這也許是無意識地承認了自己潛在的分析能力。

大學最後一年時，許埈珥24歲。那一年，著名的日本數學家廣中平祐以客座教授的身份來到首爾國立大學。廣中平祐當時已經70多歲了，在日本和韓國家喻戶曉。他於1970年獲得菲爾茲獎，後來寫了一本十分暢銷的回憶錄《創造之門》（The
Joy of
Learning）。那一代韓國和日本的父母都會把這本書送給自己的孩子，希望自己的下一代能成為偉大的數學家。在首爾國立大學，廣中平祐開設了為期一年的代數幾何（一個非常廣泛的數學領域）講座課程。許埈珥也選了這門課，他覺得廣中平祐有可能成為他記者生涯中的第一個采訪對象。

一開始，廣中平祐的課上有100多個學生，其中包括不少數學專業的學生，但幾周以後，來上課的人就屈指可數了。許埈珥猜測，其他學生退課可能是覺得廣中平祐的課很難理解，而他之所以能堅持下來是因為自己並不指望能從這門課中學到什麽。

許埈珥說：“數學專業的學生退課是因為他們什麽都聽不懂。當然了，我也什麽都聽不懂，但非數學專業的學生對 ‘理解某件事’
有不同的標準。我確實理解了他在課堂上展示的一些簡單的例子，這對我來說已經很不錯了。”

下課後，許埈珥會特意找廣中平祐聊天，兩人很快就開始共進午餐。廣中平祐還記得許埈珥的積極主動。“我並不會拒絕學生，但我也不會主動找學生，他隻是正好來找我。”
廣中平祐回憶道。

許埈珥試圖利用這些午餐時間詢問廣中平祐一些個人問題，但談話最後總會回到數學上。每到此時，許埈珥都會盡量不暴露自己的無知。“不知怎麽的，我很擅長假裝聽懂他在說什麽。”
他說。事實上，廣中平祐從未意識到自己未來的學生缺乏正規訓練。“那不是我記憶深刻的事。他給我留下了深刻印象。” 廣中平祐說。

隨著午餐談話的繼續，兩人的關係越來越好。許埈珥畢業後，廣中平祐在首爾國立大學又多待了兩年。在那期間，許埈珥開始在廣中平祐的指導下攻讀數學碩士學位。他們幾乎總在一起。廣中平祐會偶爾回日本，許埈珥就拎著廣中平祐的行李穿過機場，跟他一起回去，甚至和廣中平祐夫婦一起住在他們位於京都的公寓。

“我問他想不想住酒店，他說不喜歡。他就是這麽說的。所以他就住在我公寓的一個角落。” 廣中平祐說。

在京都和首爾，廣中平祐和許埈珥會一起出去吃飯或者長時間地散步，期間廣中平祐會停下來給路邊的花拍照片。他們成了朋友。“我喜歡他，他也喜歡我，所以我們聊了一些非數學的東西。”
廣中平祐說。

與此同時，廣中平祐繼續指導許埈珥，他從一些許埈珥能理解的具體例子開始，而不是直接向許埈珥介紹一些他可能無法掌握的一般理論。特別地，廣中平祐教了許埈珥一些關於奇點理論的精微玄妙之處，廣中平祐就是在這個領域取得了他最著名的結果。幾十年來，廣中平祐也一直在努力尋找特征p的奇點消解的證明，這是一個重要的懸而未決的問題。“顯然，他想讓我繼續這項工作。”
許埈珥說。

2009年，在廣中平祐的敦促下，許埈珥申請了十幾所美國的研究生院。他的資曆很淺：不是數學專業出身，上過的研究生水平的課程很少，並且在已上的課上也表現平平。許埈珥的入學申請很大程度上取決於廣中平祐的推薦，但大多數學校的招生委員會均對此不為所動。除了伊利諾伊大學厄巴納–香檳分校，其他學校都拒絕了他，於是他在2009年秋季進入了這所大學就讀。

2

圖中的裂縫

在伊利諾伊州，許埈珥開始了一項最終幫助他證明了羅塔猜想的工作。羅塔猜想是意大利數學家吉安–卡洛·羅塔（Gian-Carlo
Rota）在1971年提出的，它研究的是組合對象——組合對象是一些類似於萬能工匠玩具的構造，比如圖（graph）這種點和線段粘在一起的
“組合”。

考慮一個簡單的圖：三角形

數學家感興趣的問題是：給定一些顏色，一共有多少種不同的方法為三角形的頂點著色，可以令任意一條邊兩端的兩個頂點不能有相同的顏色。假設你有q種顏色。你的選擇如下：

第一個頂點的顏色有q種選擇：因為開始時你可以使用任何顏色。

相鄰頂點的顏色有q-1種選擇：因為你可以使用除第一個頂點的顏色以外的任何顏色。

第三個頂點的顏色有q-2種選擇，因為你可以使用除前兩個頂點的顏色以外的任何顏色。

著色方法的總數將是所有選擇的乘積，在這個例子中就是 q×(q–1)×(q-2)=q3–3q2+q。

上述方程被稱為這個圖的色多項式，它有一些有趣的性質。取其每一項的係數：1，-3和2。該序列的絕對值一一1，3,
2——有兩個特殊的性質。第一，它是 “單峰的”，即它隻有一個峰值，在該峰值之前，序列隻會上升；在該峰值之後，序列隻會下降。

第二，它是 “對數凹” 的，即該序列中任意連續三個數都滿足外麵兩個數的乘積小於中間數的平方。序列（1，3,
5）滿足這個要求（）,但序列（2, 3, 5 ）不滿足這個要求（）。

你可以想象無窮多的圖——這些圖有更多的頂點和邊，這些頂點和邊可以通過任何方式相連。每個圖都有唯一的色多項式。在數學家研究過的每一個圖中，其色多項式的係數總是單峰的和對數凹的。所謂的裏德猜想（Read’s
conjecture）即斷言上述事實總是成立。許埈珥將開始證明這一猜想。

從某種意義上來說，裏德猜想是非常反直覺的。要理解其中的原因，多了解一些如何將圖分解成子圖並重新組合的過程將很有幫助。考慮一個稍微複雜一點的圖一一圖3.4中的矩形。

矩形的色多項式比三角形的色多項式更難計算，但任何圖都可以分解成子圖，相比之下子圖更容易處理。子圖是通過從原圖中刪掉一條（或多條）邊（如圖3.5所示），或將兩個頂點收縮成一個頂點（如圖3.6所示）而得到的圖。

矩形的色多項式等於刪掉一條邊的矩形的色多項式減去三角形的色多項式。當你注意到與矩形本身相比，刪掉一條邊的矩形的著色方案應該更多時，這一點就很直觀了：在刪掉一條邊的矩形中，上麵沒有被一條邊相連的兩個點會給你更多的著色自由度。(例如，你可以給它們著上相同的顏色，但當它們相連時，你就不能這麽做。）那它能給你多大的自由度呢？恰好是三角形的著色數。

任何圖的色多項式都可以通過子圖的色多項式來定義，並且所有這些色多項式的係數總是對數凹的。

然而，一般而言，當你對兩個對數凹序列進行加減時，得到的序列並不是對數凹的。因此，在組合色多項式的過程中，你會期望對數凹性消失。但它並沒有消失，這說明在此過程中還有別的事情在發生。“這就是人們好奇這種對數凹現象的原因。”
許埈珥解釋道。

3

尋找隱藏的結構

許埈珥剛到伊利諾伊時並不知道裏德猜想。大多數一年級的研究生在課堂上花費的時間要多於在自己研究上的時間，但在結束了跟隨廣中平祐的三年學徒生活之後，許埈珥有了自己要研究的想法。

在到美國中西部後度過的第一個冬季，許埈珥發展了將奇點理論（這是他跟廣中平祐學習的重點）應用於圖的技術。在此過程中，許埈珥發現當他從圖中構造出一個奇點時，他就可以用奇點理論來證明原來這個圖的很多性質一一例如，解釋為什麽一個圖的色多項式的係數會遵循對數凹模式。

這一點對許埈珥來說非常有趣，於是他去查閱圖論的文獻，想看看是否有其他人解釋過他看到的這些對數凹模式。許埈珥發現，對圖論學家來說，這些模式仍然是完全神秘的。

許埈珥說：“我發現自己觀察到的這種模式實際上是圖論中一個著名的猜想，叫裏德猜想。從某種意義上說，我在不知道問題的情況下解決了問題。”

許埈珥無意中對裏德猜想的證明，以及他將奇點理論與圖相結合的方式，都可以看作其樸素數學方法的產物。他了解奇點理論的方式主要是自學和跟隨廣中平祐的非正式學習。觀察過他在過去幾年崛起過程的人認為，正是這種經曆讓他沒那麽受製於關於哪些數學方法值得嚐試的傳統觀點。“如果你把數學看作一塊分為幾個國家的大陸的話，我認為許埈珥的情況就相當於，沒有人真的告訴他存在這些邊界。他絕對不受任何界限的約束。”
高等研究院主任羅貝特-戴克赫拉夫說。

許埈珥把自己對裏德猜想的證明發布到網上後不久，密歇根大學邀請他去做報告，專門介紹這一結果。2010年12月3日，許埈珥在一個坐滿了數學家的房間裏開始了自己的報告，而這些數學家正是一年前拒絕了他的研究生申請的那批人。至此，許埈珥的天賦在其他數學家眼中已是顯而易見。傑西•卡斯（Jesse
Kass）當時是密歇根大學的數學博士後研究員。卡斯回憶說，就在許埈珥到訪之前，一名資深教員鼓勵他去聽許埈珥的報告，因為這樣
“30年後你就可以告訴你的孫子，你在許埈珥成名之前就聽過他的報告了”。卡斯現在是南卡羅來納大學的教授。

許埈珥的報告沒有讓大家失望。

“從某種程度上說，這個報告非常優美和清晰；它一下子就切中了要點。對於剛開始讀研究生的人來說，能做一個如此清楚的報告的並不多見。”
密歇根大學數學家米爾洽•穆斯塔策（Mircea Mustaţă）說。

在許埈珥的報告之後，密歇根大學的教授們邀請他轉校，於是許埈珥在2011年去了密歇根。到那時，他已經知道裏德猜想是一個更宏大更重要的問題——羅塔猜想的特例。

羅塔猜想與裏德猜想非常相似，但它的研究對象不再是圖，而是一類比圖更抽象的，被稱為
“擬陣”（matroid，圖可以看作是一類特別具體的擬陣）的組合對象，以及由擬陣產生的另一種稱為 “特征多項式”
的方程。但兩者的基本點是相同的：羅塔猜想預測，任何擬陣的特征多項式的係數總是對數凹的。

羅塔猜想的陳述很簡單，證據也很多，但要證明它，也就是解釋為什麽會出現對數凹性，卻極其困難。擬陣本身沒有任何東西能表明，為什麽對子擬陣的特征多項式進行加減時，這些對數凹性會一致地保持（就像當你對圖的色多項式進行加減時，沒有明顯的理由表明對數凹性會保持一樣）。每當觀察到一種沒有明顯原因的模式時，你會自然地深入地表以下——去尋找長成這棵樹的根。當許埈珥及其合作者開始攻克羅塔猜想時，他們就是這麽做的。

許埈珥說：“在具體的例子中很容易觀察到對數凹性。你隻需要計算感興趣的序列，就可以看到對數凹性就在那裏。但由於某些原因，解釋為什麽會出現這一現象是很困難的。”

起初，許埈珥試圖推廣他在證明裏德猜想時使用的奇點理論的技術，但他很快發現，這些技術在更抽象的擬陣領域並不奏效。

這次失敗，讓許埈珥開始尋找隱藏在擬陣表麵之下的、能夠解釋其數學行為的其他結構。

4

跨越邊界

一些人類理解上的重大飛躍，發生在有人將一個領域的成熟理論推廣到另一個領域中看似不相關的現象的時候。以萬有引力為例。人們一直明白從高處釋放物體，物體就會掉到地麵；當牛頓意識到同樣的動力學定律可以解釋行星的運動時，我們頭頂的天空就變得更加清晰了。

在數學中，類似的思想遷移經常發生。1994年，頗有影響力的數學家威廉•瑟斯頓在他那篇被廣泛引用的論文《論數學的證明與進步》（On
Proof and Progress in Mathematics）中解釋說，“導數” 這個概念有幾十種不同的理解方式。[2]
一種是你在微積分中學到的一一導數是一個函數中無窮小變化的度量。但導數也會以其他形式出現：與函數圖像相切的直線的斜率，或在特定時刻由函數給出的瞬時速度。瑟斯頓寫道：“這是一係列思考或想象導數的不同方式，而非一係列不同的邏輯定義。”

許埈珥對羅塔猜想的研究，涉及對另一個古老數學領域一一 “霍奇理論”
的重新認識。霍奇理論是20世紀30年代由蘇格蘭數學家威廉•霍奇（William Hodge）發展起來的。稱其為 “理論”
隻表明它是對某一特定事物的研究，就像你可以說 “直角三角形理論” 是對直角三角形的研究一樣。在霍奇理論中，我們感興趣的對象是
“光滑射影代數簇的上同調環”。

從表麵上看，霍奇理論與圖或擬陣之間的關係似乎遠到不能再遠了。霍奇理論中的上同調環是由包含無窮概念的光滑函數產生的。相比之下，像圖和擬陣這樣的組合對象則是純粹離散的一一它們是點和線的組合。要問霍奇理論在擬陣的背景下有什麽意義，有點兒像問如何求一個球體的平方根，這個問題似乎就沒有任何意義。

然而，我們有充分的理由問這一問題。霍奇理論提出之後的60多年裏，數學家們已經在遠離最初代數背景的情形下發現了許多霍奇型結構的例子。這就好像一度被認為是直角三角形唯一來源的畢達哥拉斯關係，後來被證明也可以用來描述素數的分布。

“有一種感覺是，這些結構隻要存在，就是基本的。它們可以解釋關於數學結構的一些事實，而這些事實很難用其他任何方法解釋。”
許埈珥說。

在這些新近發現了霍奇型結構的背景中，有一部分是與組合相關的，這促使許埈珥開始思考：這些來自霍奇理論的關係是否能用來解釋這些對數凹模式？然而，在一個陌生的領域尋找熟悉的數學概念並不是一件容易的事。事實上，這有點像尋找地外生命一你可能對生命有什麽標誌性特征有自己的想法，也有可以指引你搜索的線索，但你仍然很難預測新的生命形式會是什麽樣子。

5

合作關係的發展

近年來，許埈珥與俄亥俄州立大學的數學家卡茨和耶路撒冷希伯來大學的數學家卡裏姆-阿迪普拉西托一起，合作完成了許多他最重要的工作。他們組成了一個不同尋常的三人組。

阿迪普拉西托最初想成為一名廚師。在進入組合學（圖論和羅塔猜想等問題所在的數學領域）之前，他在印度各地背包旅行。阿迪普拉西托高中時很喜歡數學，但後來放棄了，因為他覺得
“數學對我來說不夠有創造性”。卡茨則對獨立搖滾樂隊有著狂烈的熱愛和深入細致的了解，這些都是他早年作為大學電台DJ（音樂節目主持人）時培養的。三位合作者中，卡茨是最接近擁有典型數學血統的，他認為自己是在未來詩人和未來廚師的創造性想法之間做翻譯。

卡茨說：“卡裏姆有一些不知道從何而來的驚人想法，而許埈珥對數學應該如何發展有著美好的願景。通常很難把卡裏姆的想法融入許埈珥的願景中，也許我做的一部分事情就是和卡裏姆聊天，把他的想法翻譯成更接近數學的東西。”

早在2011年，卡茨就開始關注許埈珥證明裏德猜想的工作。那時，許埈珥對證明羅塔猜想還沒有任何頭緒。卡茨仔細閱讀了許埈珥關於裏德猜想的證明，他發現如果在論證中去掉特定的一步，他就可以用那篇論文的方法給出羅塔猜想在部分情形下的證明。於是他跟許埈珥聯係，在短短幾個月時間裏，兩人合寫了一篇文章（發表於2012年），解釋了一小類被稱為“可實現的”擬陣的對數凹性。

然而，那篇論文並沒有解決羅塔猜想中最難的部分一一證明 “不可實現的”
擬陣的對數凹性，而擬陣大多數都是不可實現的。前文提到，20世紀50年代出現的霍奇理論最初被定義在 “代數簇的上同調環”
上。如果你想證明霍奇型結構解釋了我們在擬陣中觀察到的現象，你就需要找到一種方法來解釋如何從擬陣中提取出類似於上同調環這樣的對象。對於可實現的擬陣，有非常直接的方法能做到這一點，這也是為什麽許埈珥和卡茨能很快證明可實現擬陣的羅塔猜想。但對於不可實現的擬陣，並沒有明顯的方法可以將上同調環實例化一它們就好比一種語言，這種語言中根本沒有詞語來表達這個概念。

4年來，許埈珥和卡茨一直試圖在不可實現擬陣的情形下定義霍奇結構，但失敗了。在此期間，他們確定了霍奇理論的一個特殊方麵–霍奇指標定理（Hodge
index theorem）本身就足以解釋對數凹性，但這裏存在一個問題：他們無法證明霍奇指標定理對擬陣也成立。

這時，阿迪普拉西托進入了我們的視野。2015年，他來到高等研究院訪問許埈珥。阿迪普拉西托意識到，雖然隻用霍奇指標定理就可以解釋對數凹性，但要對擬陣證明霍奇指標定理，則要嚐試證明（包括霍奇指標定理在內的）更多來自霍奇理論的想法——這三位合作者將其統稱為
“克勒包”（Kähler package）。

阿迪普拉西托說：“我告訴許埈珥和埃裏克，事實上有一種純組合的方法可以證明它。然後我們很快就想出了一個計劃。我覺得是他們提出了問題，我提供了技術。”

這一技術給出了羅塔猜想的完整證明。2015年11月，三人在網上發布了他們的工作。[3]
從那時起，這項工作就傳遍了整個數學界。他們的工作為霍奇理論提供了一個完全來自組合學的視角；反過來，霍奇理論又為解決組合學中的未解問題提供了一種全新的方法。

這項工作也提升了許埈珥的知名度。除了獲得了高等研究院的新職位之外，他還經常被認為是菲爾茲獎的有力競爭者。這一獎項每4年頒發一次，授予40歲以下最有成就的數學家。

6

分道揚鑣

早在2012年，剛剛證明了裏德猜想的許埈珥就回到自己的母校首爾國立大學，報告了自己的工作。台下的聽眾中就有他的恩師廣中平祐。廣中平祐回憶說，當他得知奇點理論可以應用於圖論時，他感到很驚訝。報告結束後，廣中平祐問許埈珥，這項新工作是否標誌著他研究興趣的改變。

“我記得我問過他，是否完全沉浸於圖論之類的東西，而對奇點失去了興趣。他說不，他仍然對奇點感興趣。” 廣中平祐說。

許埈珥也記得那次談話。事實上，當時他正邁向數學中一個全新的方向。他覺得或許自己隻是沒準備好大聲說出來一尤其對那個改變了他命運的人。許埈珥說：“當時我正要離開這條道路。我想他意識到了這一點，但我還是離開了這條道路。也許是某種心理作用，讓我不想承認自己完全舍棄了奇點理論。”

從那以後，許埈珥和廣中平祐再也沒見過麵。廣中平祐今年87歲（廣中平祐生於1931年，在本書英文版出版時（2018年）87歲。——編者注），業已退休，但他仍然致力於證明奇點理論中一個困擾了他幾十年的問題（即前文提到的
“特征P的奇點消解”
問題。——譯者注）。2017年3月，廣中平佑在哈佛大學他曾經的個人主頁上發布了一篇長文，宣稱給出了一個證明。包括許埈珥在內的一些數學家已經初步審查了這一工作，但尚未驗證該證明是否成立。廣中平祐的身體狀況已不再適合長途旅行，但他還是希望能再次看到自己的愛徒。“我隻能從別人那裏聽到他的消息。”
廣中平祐說。

一天下午，我們在高等研究院校園內許埈珥的公寓裏喝咖啡，我問他，他對沒有從事廣中平祐可能希望他從事的領域有何感想。他想了一會兒，說他很愧疚。

他說：“和廣中先生在一起的很多時候，我都不得不假裝自己理解他的意思。由於缺乏數學背景，我無法和他一起進行嚴肅的研究。這給我留下了一份需要長期補習的功課。”

與此同時，許埈珥認為，自己從數學啟蒙到今天所走過的道路，對他的工作發展是有利的，或許還可以說是必要的步驟。我們在普林斯頓的一個街角分別時，他說：“我需要思考的空間。”
然後，他就遁入了高等研究院安靜的氛圍。許埈珥找到了自己進入數學的路，現在他在路上了，他將通過它找到自己的路。