你最喜歡的數字是什麽？很多人的答案可能會是一個無理數，比如圓周率????、歐拉數e，或者√2。但即使隻在自然數中做選擇，你腦海中也會出現平時在各種情況下遇到的數值：白雪公主和7個小矮人、電影《7宗罪》、不吉利的數字13，以及因為道格拉斯·亞當斯（Douglas
Adams）的小說《銀河係漫遊指南》（The Hitchhiker’s Guide to the
Galaxy）而深受大家喜愛的數字42。
那麽假如是一個比較大的數字呢，比如1729？對大多數人來說，這個數字並沒有什麽特別之處。乍一看，它似乎是徹頭徹尾的無趣：既不是質數，也不是平方數，並且也不遵循任何明顯的規律。數學家哈代（Godfrey
Harold Hardy）起初也是這樣的看法。曾經有一次，哈代在去醫院探望生病的同事拉馬努金（Srinivasa
Ramanujan）的途中，上了一輛車牌號為1729的出租車，見到了拉馬努金後，哈代向他說起了那個“無趣”的出租車車牌號。但拉馬努金立即反駁了哈代：“這個數字非常有趣：它是可以用兩種不同方式表達為兩個立方之和的最小數字。”
現在可能你會想，到底有沒有哪個數字是無趣的？然而這個問題會立即引出一個悖論：如果真的有一個值n沒有任何有意思的特性，那麽它沒有特性這個事實本身就是n的一個特別的屬性。不過令數學家驚訝的是，確實有一種方法可以以相當客觀的方式確定一個數字的有趣度——2009年的一項研究表明，自然數（正整數）可以劃分為兩個鮮明的陣營：有趣數和無趣數。
有一本全麵的數字序列百科全書提供了研究這兩種數字類別的方法。1963年，數學家尼爾·斯隆（Neil
Sloane）在寫博士論文時萌生了匯編數列的想法。當時，他需要計算一種叫做樹狀網（tree
network）的圖形中數值的高度，並遇到了一個數列：0，1，8，78，944，……但他不知道如何準確計算這個數列，於是他想知道他的同事在研究中是否遇到過類似的數列。不像對數或公式，數列並沒有相關的參考表。於是，10年後，斯隆出版了他的第一本百科全書《整數數列手冊》（A
handbook of Integer
Sequences），其中包含大約2400個數列，這些數列也被證明在進行某些計算時很有用。這本書飽受盛譽，據斯隆描述，一位熱情的讀者是這樣評價這本書的：“前有《舊約》，後有《新約》，現有《整數數列手冊》。”
尼爾·斯隆（Neil Sloane，圖片來源：wiki）
在接下來的幾年裏，斯隆收集到了更多的數列，同時很多帶有新數列的科學論文也不斷出現。這促使這位數學家在1995年與同事西蒙·普勞夫（Simon
Plouffe）一起出版了《整數數列百科全書》（The Encyclopedia of Integer
Sequences），其中包含約5500個數列。之後相關的內容依然在不斷增加，但得益於互聯網的出現，收集更大量數據成為可能：1996年，“整數數列線上大全”（the
Online Encyclopedia of Integer Sequences,
OEIS）出現，至此其能夠收錄的數列數量持續增長。截至2023年3月，它包含了超過36萬個數列。任何人都可以提交數列：提交的人隻需要解釋這個數列的產生方式以及它為什麽有趣，並且以數列靠前的那些數字為例對這個數列做出解釋。然後，會有專人審核這些提交的數列，符合條件的數列就會被發布出來。
1991年的OEIS網站（圖片來源：wiki）
除了非常有名的數列，如質數（2，3，5，7，11，……）、2的冪（2，4，8，16，32，……）或斐波那契序列（1，1，2，3，5，8，13，……），OEIS條目中還包含一些奇特的例子，比如用n個2*4樂高積木搭建一個穩定塔的方法數（1，24，1560，119580，10166403，……）；或“懶惰餐飲者序列”（lazy
caterer’s
sequence）：即對一塊餅進行n次切割可以得到的最多切塊數（1，2，4，7，11，16，22，29，……）。
OEIS條目在精通數學的人群裏已經相當有名氣，並且已經存在了幾十年，裏麵每個被提交的數列都會經過大約130個人的審閱，所以OEIS顯然已經可以被當作所有數字序列的一個客觀集合。也因此，OEIS非常適合被用來研究數字的受歡迎程度。一個數字在OEIS裏出現的次數越多，這個數字就越有趣。
至少，經營著法語博客Dr. Goulu的菲利普·古列爾梅蒂（Philippe
Guglielmetti）是這樣認為的。在他的一篇帖子中，古列爾梅蒂回憶起一位數學老師的說法：1548是一個沒有任何特殊性質的任意數字；但實際上，這個數字在OEIS條目中出現了326次。比如，它出現在了“循環空間的寬度為n時，元胞自動機按照規則110演化後一個元胞的最終周期”（eventual
period of a single cell in rule 110 cellular automaton in a cyclic
universe of width
n）形成的數列中。哈代說出租車車牌號1729無趣，這也是錯的：1729在OEIS中出現了918次（而且這個數字在電視節目《飛出個未來》（Futurama）裏麵也經常出現）。
於是古列爾梅蒂開始去尋找真正無趣的數字：那些在OEIS條目中沒有出現或者幾乎不出現的數字。比如，數字20067就從未出現過。截至今年3月，它是沒有出現在OEIS的數列中最小的數字（OEIS隻收錄序列前180個左右的數字，不然的話，每個數字都會出現在正整數數列裏）。所以，20067看起來確實挺無趣的。相比之下，緊隨其後的數字20068在OEIS中共出現了6次。
然而無趣數並沒有普遍規律，20067的地位也是可以改變的。也許就在寫這篇文章的過程中，人們發現了一個新的數列，而20067正好出現在了這個新數列的前180個數字中。盡管如此，OEIS條目仍然適合作為衡量某個數字有趣程度的標準。
接著，古列爾梅蒂按照自然數的順序，依次輸出每個數字在所有條目中出現的次數，並繪製成圖。他發現，圖中的點在縱向密集分布，形成向較大值傾斜的寬闊曲線 。這並不奇怪，畢竟OEIS條目隻存儲了數列中靠前的數字。然而令人驚訝的是，該曲線由兩個條帶組成，這兩個條帶之間有一條清晰可見的間隙。由此得出，自然數在OEIS數據庫中出現的頻率要麽特別高，要麽特別少。
根據OEIS中自然數的出現頻率，可以確定兩種自然數的類型：經常出現的有趣數（上方條帶）和不常出現的無趣數（下方條帶）。橫軸表示自然數，縱軸表示每個數字在OEIS條目中被記錄的次數。（圖源：Philippe
Guglielmetti/Wikimedia (CC BY-SA 4.0)）
古列爾梅蒂對這個結果非常著迷，於是向數學家讓-保羅·德拉艾（Jean-Paul
Delahaye）求助，德拉艾經常為《科學美國人》的法語姐妹刊讀物《為了科學》（Pour la
Science）撰寫科普文章。他想知道數學家是否研究過這種現象。事實並非如此，因此德拉艾與他的同事尼古拉·戈夫裏（Nicolas
Gauvrit）和埃克托爾·澤尼爾（Hector
Zenil）一起討論了這個話題，並進行了更深入地調查。他們引入了算法信息論（algorithmic information
theory）的結果，該理論通過描述一個對象所需要最短程序的長度來衡量其複雜度。 例如，一個任意的五位數，如47934（隻能描述為“數字序列4，7，9，3，4”），就比16384（可以描述為214）更難描述（根據信息論的一個定理，具有較多特性的數字通常具有較低的複雜性）。也就是說，經常出現在OEIS條目中的數值可能是最容易被描述的。德拉艾、戈夫裏和澤尼爾的研究可以表明，通過信息理論預測的自然數複雜性趨勢與古列爾梅蒂的曲線中所表現出來的趨勢類似。但這並不能解釋該曲線中的間隙——這被命名為“斯隆間隙”（以尼爾·斯隆命名）。
這三位數學家認為，這種差距是由社會因素造成的，例如對某些數字的偏好。為了證實這一點，他們進行了蒙特卡洛模擬（Monte Carlo
simulation），他們設計了一個將自然數映射到自然數的函數——其中，較小的自然數比較大的自然數更頻繁地輸出。研究者將隨機值代入函數中，並根據它們的頻率繪製結果。這產生了一條模糊的傾斜曲線，看起來類似於OEIS條目中的數據。而且就像信息論分析的那樣，沒有產生間隙。
為了更好地理解間隙是如何產生的，我們必須看看屬於這兩個條帶的分別都是哪些數字。對於300以內的小數值，“斯隆間隙”並不是很大。隻有對於更大的數字，差距才越來越明顯：在300到10000之間的所有數字中，約有18%屬於“有趣”範圍內，而其餘82%屬於“無趣”值。事實證明，有趣條帶包括大約95.2%的平方數和99.7%的質數，以及39%的具有許多質因數的數字。這三類已經占到了有趣條帶的近88%。其餘的數值具有很顯著的特性，如1111，或者分別滿足公式2n +
1和2n – 1。
根據信息論，特別有趣的數字應該是那些複雜度低的數字，這意味著它們易於描述。但是，如果數學家認為某些數值比其它同等複雜的數值更有趣，這就會導致“斯隆間隙”，就如德拉艾、戈夫裏和澤尼爾所認為的那樣。例如：從信息論的角度來看，2n+1和2n+2同樣複雜，但隻有2n+1的值處於“有趣條帶”。因為這些數字可以被用來研究質數，這也就是為什麽它們會出現在許多不同的背景下。
因此，對於有趣和無趣數字的區分似乎源於我們的喜好，例如對質數的重視。如果你想在被問及你最喜歡的數字是什麽時，給出一個非常有創意的數字，你可以提出像20067這樣的數字，原因是它還沒有出現在斯隆的數學序列百科中。
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