作者丨吳朝陽 南京大學數學係副教授
“張益唐攻克蘭道-西格爾零點猜想，距離解決黎曼猜想更近一步”的消息持續發酵。盡管公眾大都不明所以，但這一原本極為小眾的話題依然引起無數國人的關注。
“蘭道-西格爾零點猜想”究竟是什麽？它又有什麽重要性？要準確理解這兩個問題的答案，我們需要跨過足夠高的專業門檻。對普通公眾而言，了解這一領域的大致脈絡，也許是更為現實的選擇。
張益唐是如何一舉成名的？
公元前五世紀，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，這個觀點得到幾乎所有古希臘學者的認同。於是，古希臘人認為，對“數”的探索是了解和理解大千世界的關鍵，對“數”的研究成為古希臘學者最熱衷的事情之一。
最基礎、最“自然”的“數”是正整數。數的四則運算中，加減法相對簡單，古希臘的學者們更關心的是關於正整數乘法的性質。正如30=2x3x5，正整數大都可以寫成若幹個小於自己而大於1的正整數的乘積。如果以乘法為構建手段，則大於1但不能寫成這樣的乘積的正整數就是正整數關於乘積的基本構件，它們被稱為“素數”，中文也稱為“質數”（與之相對的、可被乘法分解的正整數被稱為“合數”）。
既然是正整數的基本構件，數學家們對素數自然就抱有極大的興趣。大約在公元前四世紀，《幾何原本》的作者歐幾裏得，就用精彩的反證法證明：存在無窮多個素數。此外，古希臘人還發現，隨著考察範圍的增大，素數變得越來越稀少；與此同時，古希臘人也發現，盡管素數在大的正整數中相當稀有，但似乎總是存在相差很小的素數對，他們因此猜測：存在無窮多個差為2的素數對。
這就是著名的“孿生素數猜想”。張益唐當年一舉成名，就是在證明這個猜想的道路上邁出了重要一步：2013年4月17日，張益唐在《數學年刊》發表《質數間的有界間隔》，在孿生素數猜想這個此前沒有數學家能實質推動的著名問題道路上邁出了革命性的一大步。
|《質數間的有界距離》摘要
研究數的性質的數學分支稱為“數論”。大家熟悉的費馬大定律、哥德巴赫猜想都屬於這個分支領域。
數論專家們很早就發現一重要現象：素數的分布相當不均勻。那麽，這無窮多個素數是如何分布的呢？在漫長的中世紀結束之後，尋找素數分布的規律，成為數論專家們極為重視的一個問題。
黎曼猜想的新聞為何能帶來轟動？
18世紀中葉，瑞士數學家歐拉以一個在數學家看來極為簡潔的乘積公式，把素數與複指數的無窮級數聯係到了一起。19世紀50年代，德國數學家黎曼在歐拉及其後幾代數學家工作的基礎上，構造出大名鼎鼎的“黎曼ζ函數”。黎曼證明，黎曼ζ函數零點的分布與素數的分布規律關係緊密，一旦弄清楚黎曼ζ函數零點的分布，精確的素數分布規律便將大白於天下。
基於此，黎曼在1859年給出了一個猜測：黎曼ζ函數的所有非平凡零點都位於複平麵的直線上。這就是名動天下的黎曼猜想。
這個猜想，是一個極難攻克的問題——黎曼在給出這個猜想的時候，就明確表示自己證明不了。後來，有人問大數學家希爾伯特（他曾經在數學上比愛因斯坦更早發現廣義相對論）：如果你離開地球五百年之後再返回地球，你的第一個問題將會是什麽？希爾伯特回答說，我會問：黎曼猜想解決了沒有？
事實證明，希爾伯特的判斷是正確的。誕生160多年之後，黎曼猜想仍然懸而未決。
與黎曼幾乎同時，另一位德國數學家狄利克雷引入“狄利克雷L函數”，這個函數是黎曼ζ函數的推廣。於是，數論中出現了“廣義黎曼猜想”。
廣義黎曼猜想比黎曼猜想“威力”更大，它的成立與否，決定著孿生素數猜想等重大數論命題的命運。事實上，目前已經有2000多個數學命題依賴於廣義黎曼猜想的解決，可見它在數論中有著無可比擬的重要性。
20世紀初，幾位數學家發現，狄利克雷L函數可能存在所謂的“異常零點”，因而引出了“蘭道-西格爾零點猜想”。這個猜想說，狄利克雷L函數不存在異常零點。這種異常零點的存在與否，和廣義黎曼猜想的正誤緊密相關：如果狄利克雷L函數存在異常零點，則廣義黎曼猜想不成立。
然而，多年的研究顯示，蘭道-西格爾零點猜想是一個非常難於解決的問題，有些數學家甚至認為，它比廣義黎曼猜想更難被攻克！
如果張益唐真的攻克了“猜想”……
至此，我們知道：素數是自然數的基本構件，素數的分布問題是關於自然數的學問（數論）中極為重要的問題，包括孿生素數猜想在內的許多素數分布問題的解決，都依賴於廣義黎曼猜想，而蘭道-西格爾零點猜想與廣義黎曼猜想緊密相關。因此，毫無疑問地，蘭道-西格爾零點猜想是數學中一個關係重大的猜想，它的攻克理所當然是數論界的重大事件。
如果張益唐證明蘭道-西格爾零點猜想不成立，那麽他就投出了一顆威力無比的重磅炸彈：廣義黎曼猜想不成立，而2000多個相關命題也將隨之壽終正寢。如果張益唐證明蘭道-西格爾零點猜想成立，那麽廣義黎曼猜想依舊巋然不動，但其證明仍然非常重要。因為，它必然為數論研究提供了全新的數學工具，同時證明了人類智慧的高超，並為廣義黎曼猜想的成立提供了旁證。
| 2019年，張益唐教授在未來科學大獎科學峰會上，分享了Landau-Siegel零點問題
作為外行的公眾，不妨如此理解這一問題：廣義黎曼猜想如同是一根支柱，諸多數學家傍依著這根支柱添砌磚頭建了一麵牆；現在，張益唐可能在這根支柱上鑽了一個孔，可以初步窺視這根支柱的成色——如果鑽孔處顯示它隻是一根爛木頭（蘭道-西格爾零點猜想不成立），那麽這堵牆將轟然倒塌，所有磚頭將拋灑一地；如果鑽孔處顯示是鋼筋（蘭道-西格爾零點猜想成立），那麽這根支柱的整體質量將等待進一步的檢驗來證實。
順便說一下，列名於上述猜想的蘭道（Edmund Landau，1877 – 1938）和西格爾（Carl Ludwig
Siegel，1896 –
1981）都是德國一流的數學家。在納粹上台之後，蘭道很快就被迫退休，西格爾則因為反感納粹政權而在數年後遠走美國。毫不誇張地說，納粹政權在數年間就使數學界首屈一指的哥廷根學派分崩離析，使德國數學永遠失去舊日的輝煌。
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